Впрочем хватит обо мне. Давайте наконец о хаосе. Для пущей готичности, я объявлю базовой метафорой хаотизма, как способа мышления колодец и маятник, отослав читателя таким способом к горячо любимому мною Эдгару По. Причём тут колодец и маятник?

Колодец в обсуждаемой метафоре выступает как символ некоторого неодолимого ограничения. Непересекаемых пределов, непременно необходимых для возникновения хаотического пространства. Если эти пределы существуют, то возникает колебательное движение, то есть маятник. Всякое усилие, нарастает, достигает установленных пределов и снова откатывается назад. Цикл повторяется. Колебательное движение медленно усложняется, становясь непредсказуемым, то есть хаотичным.

Если же фундаментальных ограничений нет, то всё просто линейно разлетается в разные стороны, энергия тратится, не порождая сложности, все быстро выгорает, так и не породив ничего минимально интересного.

Давайте рассмотрим пару случаев возникновения колебательного движения вследствии наличия пределов. Представьте себе небольшую летнюю деревенскую лужу, в которой размножаются какие-то крошечные безымянные рачки. “Милая примитивная форма жизни. ОК?”, как говорил один из главных героев кинофильма “Z00” за авторством Питера Гринуэя. Возможно самого моего любимого артхаусного фильма, к слову.

Так вот. Рачки эффективно размножаются, им хватает чего кушать и чем дышать. В какой-то момент рачков становится слишком много. Они съедают в луже всё, включая дававшие им кислород водоросли. Популяция рачков начинает сокращаться вплоть до некоторого минимального уровня. К тому моменту ресурсная база восстанавливается и популяция снова идёт в рост.

Существует так называемая “модель динамики популяций Рикеля”, описывающая как раз изменение числа рачков в подобной луже. Она выглядит вот так:
N_(t+1) = N_(t)r(1-N_(t)/k)

N_(t+1) в этой формуле соответствует числу рачков на следующей итерации, N_(t) - текущее число рачков, r - внутренняя скорость роста популяции, а k - биологическая ёмкость среды. То есть некоторая переменная символизирующая одновременно количество еды, пространства и кислорода в обсуждаемой луже.

Эта формула исключительно проста на вид. Однако она имеет совершенно сногсшибательное свойство.
Если скорость роста популяции - r больше нуля и меньше двух, размер популяции будет стремиться к определённому, постоянному значению.

Если r окажется больше 2 и меньше 2.692, размер популяции будет колебаться периодически, в бесконечном цикле.

Но самое интересное произойдёт, если r окажется большим 2.692. Тогда размер начнет меняться хаотическим образом, внутри циклического периода.

На всякий случай уточню, что эти события никак не зависят от природы и свойств рачков, хомячков или открывалок для бутылок. Всё дело в самом уравнение колебания популяции. Размер популяции будет колебаться сложным и непредсказуемым способом не потому что рачки-хомячки такие сложные. От их сложности вообще ничего не зависит и мы выносим её за скобки. Хаотическое поведение будет порождаться самим обсуждаемым нами уравнением. То есть сложность может возникать из “лысой математики”. Причём из возмутительно простой “лысой математики”. А раз она это может делать, то естественным образом приходится предположить, что она именно так всегда и поступает.

Почему, если простая математика умеет вести себя хаотично , именно она и является источником сложности, а не что-то ещё (например “жизнь” или “природа” в их флюидном, догенетическом понимании)? Мне это понятно интуитивно. Но, думаю, что таки обосновать такое интуитивное понимание логически не помешает.

Давайте для начала слегка перепишем обсуждаемое уравнение. Просто сделаем его более наглядным. Уберём подиндексы, дополнительные переменные и прочую ерунду. В результате у нас получится вот что:

x → rx(1 — x)

Уравнение проще трудно себе представить. Всего одна переменная - x и всего один коэффициент r. Ёмкость среды мы выбросили, для налядности. Будем считать, что теперь ёмкость среды у нас всегда будет равна единице. Правда теперь у нас появляется одно дополнительное условие - x не должен принимать значение выше единицы. Ведь это уравнение описывает колебание размера популяции. А этот размер не должен быть отрицательным. В луже не может жить минус сорок два рачка.

Это уравнение описывает динамику переменной. То есть выражает последующее её значение через предыдущее. Поэтому вместо знака равенства в нём стрелочка.

Я настоятельно рекомендую вам запомнить обсуждаемое уравнение именно в этой форме. Во-первых именно это уравнение изучают “компьютерные экспериментаторы” от теории хаоса. Ведь оно простое и юзабельное. Во вторых его попросту легко запомнить, и потом замечать эту маленькую, но очень важную “математическую деталь” в других физико-математических конструкциях.